Rapport (mathématiques)

En sciences et en mathématiques en particulier, un rapport (parfois appelé ratio), noté avec le symbole : ou parfois /, est le quotient de deux valeurs qui se rapportent à des grandeurs de la même espèce — par exemple, le rapport 56:8 (quand le quotient se rapporte à des grandeurs d'espèces différentes, on parlerait plutôt de taux, bien que dans le langage courant, les deux termes soient interchangeables). Un rapport est une grandeur sans dimension : il ne conserve aucune trace des grandeurs qu'il compare. C’est une notion voisine, mais distincte, de celle de fraction.

Usage

Un rapport entre une partie et un tout s'exprime souvent en pourcentage. En anglais, et par extension dans les spécialités les plus en relation avec l'aire anglophone, on emploie souvent le mot d'origine latine ratio, dont la définition est identique.

Dans des textes anciens, et dans certains cas particuliers, le rapport (mathématique) s'appelle raison. On parle ainsi de la raison d'une suite définie par récurrence.

En physique et en technologie, un indice, comme l'indice de réfraction est un rapport. En statistique et en économie, un indice est le rapport, généralement multiplié par cent, entre une grandeur et une de ses valeurs prise comme référence.

Usage approximatif

Il faut constater que la définition rigoureuse n'imprègne pas le langage technique, où rapport et taux se trouvent l'un pour l'autre. On parle ainsi souvent de taux d'ondes stationnaires pour désigner le rapport d'ondes stationnaires dans une ligne de transmission, bien que le terme soit officiellement proscrit.

Des auteurs mathématiciens donnent rapport pour synonyme de quotient, ce qui est mathématiquement juste.

Notions de rapport et fraction

Un rapport est mathématiquement différent d’une fraction, mais les deux notions sont liées à la fois numériquement et par le contexte.

Bien que rapport et fraction « comparent » deux quantités d’une même espèce (ou de deux espèces différentes si on généralise ces notions), la différence fondamentale est qu’une fraction rapporte nécessairement le tout à une partie de ce tout (une fraction est un quotient du type A/B où B est le tout pris en référence, et A une partie de ce tout — ex. les 3/4 d’un gâteau ie. implicitement découpé en quatre parts égales), tandis que le rapport rapporte deux quantités arbitraires. C’est simplement une mise en correspondance du type A:B où A et B sont des quantités arbitraires, sans lien d’ensemble entre elles, a priori.

Pour convertir un rapport en fraction, ou plus précisément en deux fractions liées par le contexte, il suffit toutefois d’appliquer la transformation suivante : le rapport A:B donne d’une part la fraction A/A B et d’autre part la fraction B/A B, avec la somme des fractions donnant la valeur unitaire (A/A B B/A B = A B/A B = 1).

Annexes

Bibliographie

Stella Baruk, « Rapport », dans Dictionnaire de mathématiques élémentaires [détail des éditions]
Commission électrotechnique internationale, « Mathématiques:Concepts généraux et algèbre linéaire:Ensembles et opérations », dans IEC 60050 Vocabulaire électrotechnique international, 1987/2017 (lire en ligne), p. 102-01-23